Question

3．某中学教学楼的后面靠近一座山坡，坡面下是一块草地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=160米，坡度i=$\sqrt{3}$：1，为防止山体滑坡，保障学生安全，学校决定不仅加固教学楼，还对山坡进行改造，当坡角不超过45°时可保证山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）

Answer 1

分析 首先过点E作EF⊥AD于F，过点B作BH⊥AD于H，由BC∥AD，可得四边形EFHB是矩形，即可得BE=FH，EF=BH，然后分别在Rt△ABH中与Rt△AEF中，利用三角函数的知识求得AH，AF，EF的长，继而求得答案．

解答 解：过点E作EF⊥AD于F，过点B作BH⊥AD于H，
∵BC∥AD，
∴四边形EFHB是矩形，
∴EF=BH，BE=FH，
∵斜坡AB=40米，坡度i=$\sqrt{3}$：1，
∴tan∠BAH=$\sqrt{3}$，
∴∠BAH=60°，
在Rt△ABH中，BH=AB•sin∠BAH=40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20$\sqrt{3}$（米），AH=AB•cos∠BAH=40×$\frac{1}{2}$=20（米），
∴BH=20$\sqrt{3}$米，
∴EF=20$\sqrt{3}$米，
∵∠EAF=45°，
∴在Rt△AEF中，AF=$\frac{EF}{tan∠EAF}$=$\frac{20\sqrt{3}}{1}$=20$\sqrt{3}$（米），
∴BE=FH=AF-AH=20$\sqrt{3}$-20（米）．
∴BE至少是（20$\sqrt{3}$-20）米．

点评 此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意能借助于坡度坡角的定义构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．