Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+

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4

k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）k取何值时，方程有两个实数根；  
（2）若两根为x₁，x₂，满足x²₁+x²₂=5，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（k+1）²-4（

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4

k²+1）≥0，然后解不等式即可得到k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=

1

4

k²+1，利用完全平方公式，由x²₁+x²₂=5得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，整理得k²+4k-12=0，然后解方程后通过k的范围确定k的值．

解答：解：（1）根据题意得△=（k+1）²-4（

1

4

k²+1）≥0，
解得k≥

3

2

；
（2）根据题意得x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=

1

4

k²+1，
∵x²₁+x²₂=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，解得k₁=-6，k₂=2，
而k≥

3

2

，
∴k=2．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．