题目内容
18．如图，一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21，…，称为“三角形数”；把1、4、9、16，25，…称为“正方形数”．同样的，可以把数1，5，12，22，…，等数称为“五边形数”．
将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里：
| 三角形数 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | a | … |
| 正方形数 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | b | 49 | … |
| 五边形数 | 1 | 5 | 12 | 22 | C | 51 | 70 | … |
（2）观察表中规律，第n个“正方形数”是n2；若第n个“三角形数”是x，则用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”是n2+x-n．
分析 （1）首先根据前6个“三角形数”分别是1=$\frac{1×2}{2}$、3=$\frac{2×3}{2}$、6=$\frac{3×4}{2}$、10=$\frac{4×5}{2}$、15=$\frac{5×6}{2}$、21=$\frac{6×7}{2}$，可得第n个“三角形数”是$\frac{n（n+1）}{2}$，据此求出a的值是多少；然后根据前5个“正方形数”分别是1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，可得第n个“正方形数”是n2，据此求出b的值是多少；最后根据前4个“五边形数”分别是1=$\frac{1×（3×1-1）}{2}$，5=$\frac{2×（3×2-1）}{2}$，12=$\frac{3×（3×3-1）}{2}$，22=$\frac{4×（3×4-1）}{2}$，可得第n个“五边形数”是$\frac{n（3n-1）}{2}$，据此求出c的值是多少即可．
（2）首先判断出第n个“正方形数”是n2；然后分别求出第1个“三角形数”、第1个“正方形数”的和与第1个“五边形数”的差是多少，第2个“三角形数”、第2个“正方形数”的和与第2个“五边形数”的差是多少；第3个“三角形数”、第3个“正方形数”的和与第3个“五边形数”的差是多少；最后总结出规律，用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”即可．
解答 解：（1）∵前6个“三角形数”分别是：
1=$\frac{1×2}{2}$、3=$\frac{2×3}{2}$、6=$\frac{3×4}{2}$、10=$\frac{4×5}{2}$、15=$\frac{5×6}{2}$、21=$\frac{6×7}{2}$，
∴第n个“三角形数”是$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴a=$\frac{7×8}{2}=28$．
∵前5个“正方形数”分别是：
1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，
∴第n个“正方形数”是n2，
∴b=62=36．
∵前4个“正方形数”分别是：
1=$\frac{1×（3×1-1）}{2}$，5=$\frac{2×（3×2-1）}{2}$，12=$\frac{3×（3×3-1）}{2}$，22=$\frac{4×（3×4-1）}{2}$，
∴第n个“五边形数”是$\frac{n（3n-1）}{2}$，
∴c=$\frac{5×（3×5-1）}{2}$=35．
（2）第n个“正方形数”是n2；
1+1-1=1，
3+4-5=2，
6+9-12=3，
10+16-22=4，
…，
∴第n个“五边形数”是n2+x-n．
故答案为：28、36、35；n2、n2+x-n．
点评 此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
名师金手指领衔课时系列答案| A． | $\frac{20}{81}$ | B． | $\frac{10}{81}$ | C． | $\frac{5}{243}$ | D． | $\frac{10}{243}$ |
| A． | -$\frac{5\sqrt{2}}{2}$ | B． | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ |
如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线．求∠EAD的度数．