Question

10．如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是边AB上一点，且BD=3，点P是边BC上一动点，作∠DPE=60°，PE交边AC于点E，当CE=$\frac{16}{3}$时，满足条件的点P有且只有一个．

Answer 1

分析 证明△BDP∽△CPE，列比例式为$\frac{BD}{CP}=\frac{PB}{CE}$，列关于CP的一元二次方程，由△=0可得方程有两个相等的实根，即CP有且只有一个值，可计算出CE的长．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠DPE=60°，
∴∠BDP+∠BPD=∠BPD+∠CPE=120°，
∴∠BDP=∠CPE，
∴△BDP∽△CPE，
∴$\frac{BD}{CP}=\frac{PB}{CE}$，
∴$\frac{3}{CP}=\frac{8-CP}{CE}$，
∴3CE=8CP-CP²，
CP²-8CP+3CE=0，
当△=0时，CP有一个值，
即△=（-8）²-4×1×3CE=0，
CE=$\frac{16}{3}$，
则当CE=$\frac{16}{3}$时，满足条件的点P有且只有一个．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了等边三角形和相似三角形以及一元二次方程解的情况，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键，并与方程的解相结合，得出结论．