Question

如图，AB∥CD，GM、HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线
（1）试判断GM和HN的位置关系；
（2）如果GM是∠AGH的角平分线，（1）中的结论还成立吗？
（3）如果GM是∠BGH的角平分线，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请你猜想GM和HN的位置关系，不必说明理由．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）证明同位角∠EGM、∠GHN相等，即可解决问题．
（2）证明内错角∠M′GH、∠GHN相等，即可解决问题．
（3）运用两直线平行，同旁内角互补，借助角平分线的定义即可解决问题．

解答：解：（1）GM∥HN；理由如下：
∵AB∥CD，且GM、HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线，
∴∠EGB=∠GHD，∠EGD=2∠EGB，∠GHD=2∠GHN，
∴∠EGM=∠GHN，
∴GM∥HN．
（2）（1）中的结论还成立；理由如下：
如图，当GM′平分∠AGH时，∠AGH=2∠M′GH；
∵AB∥CD，
∴∠AGH=∠GHD；而∠GHD=2∠GHN，
∴∠M′GH=∠GHN，
∴GM′∥HN．
（3）（1）中的结论不成立；此时，GM⊥HN．

点评：本题考查了平行线的性质和判定，补角定义定义的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．