Question

20．小华在“科技创新大赛”中制作了一个创意台灯作品，现忽略支管的粗细，得到它的侧面简化结构图如图所示．已知台灯底部支架CD平行于水平面，FE⊥OE，GF⊥EF，台灯上部可绕点O旋转，OE=20cm，EF=20$\sqrt{3}$cm．
（1）如图1，若将台灯上部绕点O逆时针转动，当点G落在直线CD上时，测量得∠EOG=65°，求FG的长度（结果精确到0.1cm）；
（2）将台灯由图1位置旋转到图2的位置，若此时F，O两点所在的直线恰好与CD垂直，求点F在旋转过程中所形成的弧的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，$\sqrt{3}$≈1.73，可使用科学计算器）

Answer 1

分析 （1）作GM⊥OE可得矩形EFGM，设FG=xcm，可知EF=GM=20$\sqrt{3}$cm，OM=（20-x）cm，根据tan∠EOG=$\frac{GM}{OM}$列方程可求得x的值；
（2）RT△EFO中求出OF的长及∠EOF的度数，由∠EOG度数可得旋转角∠FOF′度数，根据弧长公式计算可得．

解答 解：（1）如图，作GM⊥OE于点M，

∵FE⊥OE，GF⊥EF，
∴四边形EFGM为矩形，
设FG=xcm，
∴EF=GM=20$\sqrt{3}$cm，FG=EM=xcm，
∵OE=20cm，
∴OM=（20-x）cm，
在RT△OGM中，
∵∠EOG=65°，
∴tan∠EOG=$\frac{GM}{OM}$，即$\frac{20\sqrt{3}}{20-x}$=tan65°，
解得：x≈3.8cm；
故FG的长度约为3.8cm．

（2）连接OF，
在RT△EFO中，∵EF=20$\sqrt{3}$，EO=20，
∴FO=$\sqrt{E{F}^{2}+E{O}^{2}}$=40，tan∠EOF=$\frac{EF}{EO}$=$\frac{20\sqrt{3}}{20}$=$\sqrt{3}$，
∴∠EOF=60°，
∴∠FOG=∠EOG-∠EOF=5°，
又∵∠GOF′=90°，
∴∠FOF′=85°，
∴点F在旋转过程中所形成的弧的长度为：$\frac{85•π•40}{180}$=$\frac{170π}{9}$cm．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．