Question

8．已知x=1+2m，y=1-m²
（1）若点（x，y）恰为抛物线y=ax²-ax+1的顶点，求a的值；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）若-3≤m≤1，x≤0，求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把二次函数的解析式化为顶点式，列方程组可求出a的值；
（2）把已知中的x=1+2m，y=1-m²变形化为y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$；
（3）把m=$\frac{x-1}{2}$代入-3≤m≤1中，求得-5≤x≤3，再根据x≤0得：-5≤x≤0，求二次函数的对称轴是：x=1，确定当-5≤x≤0时，都是对称轴的同侧，因此分别求出两段的y值，写出取值即可．

解答 解：（1）y=ax²-ax+1=a（x²-x+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$）+1=a（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$a+1，
顶点（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$a+1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}=x=1+2m}\\{-\frac{1}{4}a+1=y=1-{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{4}}\\{a=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$；
（2）∵x=1+2m，
∴m=$\frac{x-1}{2}$，
把m=$\frac{x-1}{2}$代入y=1-m²中得：y=1-m²=1-（$\frac{x-1}{2}$）²，
y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$；
（3）∵-3≤m≤1，
∴-3≤$\frac{x-1}{2}$≤1，
∴-5≤x≤3，
∵x≤0，
∴-5≤x≤0，
y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$；
=-$\frac{1}{4}$（x²-2x+1-1）+$\frac{3}{4}$，
=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，
对称轴是：x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
当x=-5时，y=-$\frac{1}{4}$（-5-1）²+1=-8，
当x=0时，y=-$\frac{1}{4}$（0-1）²+1=$\frac{3}{4}$，
∴y的取值范围是-8≤y≤$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了利用配方法求二次函数的顶点坐标及二次函数的性质，在二次函数中根据x的取值来判断y的取值时，要先确定该x的值是否在对称轴的同侧，再利用数形结合的思想做出判断．