Question

7．△ABC是边长为4个单位长度的等边三角形，点F是边BC上的点，FD⊥AB，FE⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）已知A、D、F、E四点在同一个圆上，若tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求此圆的半径．
（3）设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质和垂直的定义结合两组对应角相等的两个三角形相似证明△BDF∽△CEF；
（2）根据A、D、F、E四点在同一个圆上，证明∠FAE=∠EDF，根据tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，设EF=$\sqrt{3}$x，根据∠ECF=60°和正切的概念列出算式求出x的值，得到答案．
（3）用m表示出AD、DF、AE、EF的长，根据四边形ADFE面积为S=△ADF的面积+△FEC的面积求出S与m之间的函数关系，根据配方法求出当m为何值时S取最大值．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠DBF=∠ECF=60°，
∵FD⊥AB，FE⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°，
∴：△BDF∽△CEF；
（2）解：∵A、D、F、E四点在同一个圆上，
∴∠FAE=∠EDF，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设EF=$\sqrt{3}$x，则AE=2x，由勾股定理得AF=$\sqrt{7}$x，
CE=4-2x，又∠ECF=60°，
tan∠ECF=$\frac{EF}{CE}$，即$\frac{\sqrt{3}x}{4-2x}$=$\sqrt{3}$，
解得x=$\frac{4}{3}$，
AF=$\sqrt{7}$x=$\frac{4}{3}\sqrt{7}$，
∵∠AEF=90°，
∴AF是圆的直径，
∴圆的半径为：$\frac{2}{3}\sqrt{7}$；
（3）解：在Rt△BDF中，∠B=60°，BF=m，
∴BD=$\frac{1}{2}$m，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴△ADF的面积为：$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{1}{2}$m）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\sqrt{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²，
在Rt△FEC中，∠C=60°，FC=4-m，
∴EC=$\frac{1}{2}$（4-m），EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m），
∴△FEC的面积为：$\frac{1}{2}$×[4-$\frac{1}{2}$（4-m）]×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m）=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²，
四边形ADFE面积为S=△ADF的面积+△FEC的面积
=$\sqrt{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²+2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²，
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m-2）²+3$\sqrt{3}$，
当m=2时，S取最大值3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定、四点共圆、锐角三角函数和二次函数的知识，掌握相似三角形的判定定理、锐角三角函数的概念和二次函数的最值的求法是解题的关键．