Question

16．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，CD=5．将梯形ABCD绕点A旋转后得到梯形AB₁C₁D₁，其中B、C、D的对应点分别是B₁、C₁、D₁，当点B₁落在边CD上时，点D₁恰好落在CD的延长线上，那么DD₁的长为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先根据旋转的性质得出△DAB≌△D₁AB₁，再根据全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，得出∠2=∠3，然后根据平行线的性质，得出∠2=∠4，若设∠1=∠2=∠3=∠4=α，则根据∠2+∠3+∠5=180°，可以求得α的度数为60°，最后根据△ADD₁、△BCD都是等边三角形，求得DD₁=AD=$\frac{5}{2}$．

解答 解：如图，将梯形ABCD绕点A旋转后得到梯形AB₁C₁D₁，连接BD，
由旋转得：AD=AD₁，AB=AB₁，∠DAD₁=∠BAB₁，
∴∠DAB=∠D₁AB₁，且∠1=∠3，
在△DAB和△D₁AB₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=A{D}_{1}}\\{∠DAB=∠{D}_{1}A{B}_{1}}\\{AB=A{B}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△D₁AB₁（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠4，
设∠1=∠2=∠3=∠4=α，则∠5=180°-∠4-∠C=120°-α，
∵∠2+∠3+∠5=180°，
∴α+α+120°-α=180°，
解得α=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=60°，
∴△ADD₁、△BCD都是等边三角形，
∴BD=CD=5，∠ABD=30°，
∴Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，
∴DD₁=AD=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$

点评 本题以旋转为背景，主要考查了全等三角形与等边三角形．解题时注意，旋转前后的对应边相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，这是解题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时需要添加适当辅助线构造三角形．