Question

如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．

（1）求证：E是AC的中点；

（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．

Answer 1

（1）证明：连AD，如图

∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，

∴AC是⊙O的切线，

又∵DE与⊙O相切，

∴ED=EA，

∴∠EAD=∠EDA，

而∠C=90°﹣∠EAD，∠CDE=90°﹣∠EDA，

∴∠C=∠CDE，

∴ED=EC，

∴EA=EC，

即E为BC的中点；

（2）解：由（1）知，E为BC的中点，则AC=2AE=6．

∵cos∠ACB=，∴sin∠ACB==．

连接AD，则∠ADC=90°．

在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACB=6×=．

在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=×=，

∴DG=2DF=．