题目内容
在直角坐标系中，抛物线y=-| 1 | 2 |
（1）求抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线y=nx交于D．以D为圆心，作与x轴相切的圆，交y轴于M、N两点．求劣弧MN所对的弓形面积；
（3）在y轴上是否存在一点F，使得FD+FA的值最小，若存在，求出△ABF的面积，若不存在，说明理由．
分析：（1）当x=0时，得点C（0，-n），由tan∠CBO=4tan∠BCO，得点B（-
，0），根据△AOC与△COB相似，得点A（-2n，0），然后把A，B两点的坐标代入抛物线，求出抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为x=-
，直线y=2x，求出点D的坐标，确定圆的半径，利用垂径定理得到M，N的坐标，然后求出弓形的面积．
（3）求出点D关于y轴的对称点E的坐标，连接AE交y轴于点F，求出点F的坐标，计算出△ABF的面积．
| n |
| 2 |
（2）抛物线的对称轴为x=-
| 5 |
| 2 |
（3）求出点D关于y轴的对称点E的坐标，连接AE交y轴于点F，求出点F的坐标，计算出△ABF的面积．
解答：
解：（1）当x=0时，y=-n，
∴C（0，-n）．
∵tan∠CBO=
，tan∠BCO=
，
∴
=4
∴OC=2OB
∴B（-
，0）
∵△AOC∽△COB
∴OC2=OA•OB
∴A（-2n，0）
把A，B两点的坐标代入抛物线得：
解方程组得：
所以抛物线的解析式为：y=-
x2-
x-2；
（2）抛物线的对称轴为：x=-
，
y=2x，
∴D（-
，-5），
如图：连接DM，DN，过点D作DH⊥MN于H，
则：DM=5，DH=
，
∴∠MDH=60°，
∴∠MDN=120°
S弓形=S扇形MDN-S△MDN
=
π•25-
•
•5
=
-
；
（3）点D关于y轴的对称点E（
，-5）
点A（-4，0），
AE的解析式为：y=-
x-
∴F（0，-
）
S△ABF=
AB•OF=
•3•
=
．
解：（1）当x=0时，y=-n，∴C（0，-n）．
∵tan∠CBO=
| OC |
| OB |
| OB |
| OC |
∴
| OC |
| OB |
| OB |
| OC |
∴OC=2OB
∴B（-
| n |
| 2 |
∵△AOC∽△COB
∴OC2=OA•OB
∴A（-2n，0）
把A，B两点的坐标代入抛物线得：
|
解方程组得：
|
所以抛物线的解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（2）抛物线的对称轴为：x=-
| 5 |
| 2 |
y=2x，
∴D（-
| 5 |
| 2 |
如图：连接DM，DN，过点D作DH⊥MN于H，
则：DM=5，DH=
| 5 |
| 2 |
∴∠MDH=60°，
∴∠MDN=120°
S弓形=S扇形MDN-S△MDN
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
=
| 25π |
| 3 |
24
| ||
| 4 |
（3）点D关于y轴的对称点E（
| 5 |
| 2 |
点A（-4，0），
AE的解析式为：y=-
| 10 |
| 13 |
| 40 |
| 13 |
∴F（0，-
| 40 |
| 13 |
S△ABF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 40 |
| 13 |
| 60 |
| 13 |
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）用待定系数法确定抛物线的解析式，（2）数形结合，确定圆的半径和扇形的圆心角，计算弓形的面积，（3）根据对称性确定点F的坐标，然后求出三角形的面积．
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，B，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．
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