Question

如图，E、F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线上的点，且BE=DF，EF分别交线段AC、线段AD于M、N两点（E不与B、C重合）
（1）若AB=1，E是BC的中点，试求△AEF的面积；
（2）求证：△AEM∽△FCM；
（3）若S_△CEF：S_△AEF=1：2，试CE：CF的值．
（4）设

AM

AC

=x，

AN

AD

=y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形性质得出∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，易证△ABE≌△ADF，推出AF=AE=

5

2

，∠FAD=∠EAB，求出∠EAF=90°，根据三角形面积公式求出即可；
（2）根据∠BCD=∠EAF=90°推出C、E、A、F四点共圆，推出∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，根据相似三角形的判定推出即可；
（3）根据三角形面积比求出AB²=3BE²，求出AB=

3

BE，把CE=AB-BE，CF=AB+BE代入求出即可．
（4）设正方形的边长为1，EB的长度为t，利用已知条件和平行线截线段成比例得到关系式，

1-y

1-t

=

t

1+t

①，

y

1-t

=

x

1-x

②．根据这两个比例式得到y关于x的关系式．由t的取值范围来求x的取值范围．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，
∵E为BC中点，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

，
由勾股定理得：AE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∵在△ABE和△ADF中

BE=DF ∠B=∠ADF AB=AD

∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AF=AE=

5

2

，∠FAD=∠EAB，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=∠EAD+∠EAB+∠EAD=∠BAD=90°，
∴△AEF的面积是

1

2

×AE×AF=

1

2

×

5

2

×

5

2

=

5

8

．

（2）证明：∵∠BCD=∠EAF=90°，
∴∠BCD+∠EAF=180°，
∴C、E、A、F四点共圆，
∴∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，
∴△AEM∽△FCM．

（3）∵S_△CEF：S_△AEF=1：2，
∴2×

1

2

×CE×CF=

1

2

×AE²，
∵AE²=AB²+BE²，CE=BC-BE=AB-BE，CF=CD+DF=AB+BE，
∴AB²+BE²=2（AB-BE）（AB+BE）=2AB²-2BE²，
AB²=3BE²，
AB=

3

BE，
∴

CE

CF

=

AB-BE

AB+BE

=

3 BE-BE

3 BE+BE

=

3 -1

3 +1

=

2- 3

1

，
即CE：CF=（2-

3

）：1．

（4）设正方形边长为1，则AD=1，AC=

2

∵

AM

AC

=x，

AN

AD

=y，
∴AM=

2

x，AN=y，
则DN=1-y．
设BE=DF=t，则CE=1-t，
∵AD∥BC，
∴

DN

CE

=

DF

CF

，

AN

CE

=

AM

CM

，
即：

1-y

1-t

=

t

1+t

，①

y

1-t

=

x

1-x

，②
由①②得 2x²-xy-xy²+y²=0（0＜x＜1）．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．