Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为．孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：

① 量得；② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．

请完成下列问题：

（1）写出抛物线的对称轴；(2）求抛物线的解析式；（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．求证： ．

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）由于O、A关于抛物线对称轴对称，且OA=3cm，由此可求得抛物线的对称轴为x=．

（2）根据O、A的坐标，可将抛物线解析式设为交点式，在（1）题求得了抛物线的对称轴，即可得到B、C的横坐标，分别代入抛物线的解析式中，表示出它们的纵坐标，根据C、B的纵坐标差为4.5即可列方程求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式．

（3）可设出E点的横坐标，进而根据直尺的宽度得到F点的横坐标，根据（2）题所得抛物线，即可表示出两点的纵坐标，利用梯形的面积公式，可求出梯形EFGH的面积表达式，然后同（EF2-9）进行比较即可．

试题解析：（1）

（2）设抛物线的解析式为： ，当时， ，即；当时， ，即，依题意得： ，解得： ．

∴抛物线的解析式为： ．

（3）过点作，垂足为，设， ，得： ①

②

又，得，分别代入①、②得： ，

∴得：

又 ∴