Question

若△ABC的三条中线长为3、4、5，则S_△ABC为

 

．

Answer 1

分析：延长GD至D′，使DD′=GD，则四边形BDCD′是平行四边形，则△GD'C的边长分别是△ABC的三条中线长的

2

3

倍，故它是直角三角形，且面积为

8

3

；另一方面，△GD'C的面积与△BGC面积相等，而△BGC的面积是△ABC的

1

3

，故S_△ABC=8．

解答：解：如图，AD、BE、CF为三角形的三条中线，不妨设CF=3，BE=4，AD=5，
延长GD至D′，使DD′=GD，
∵BD=DC，
∴四边形BGCD′是平行四边形，
根据中线的交点性质可知，CG=

2

3

CF=2，D′C=BG=

2

3

BE=

8

3

，D′G=

2

3

AD=

10

3

，
由勾股定理的逆定理，得CG²+D′C²=D′G²，
∴S_△GD′C=

1

2

×CG×D′C=

8

3

；
又S_△GD′C=S_△BGC=

1

2

S_?BD′CG
∴S_△ABC=3S_△BGC=3×

8

3

=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了面积及等积变换．关键是明确重心G的性质，构造直角三角形求面积．