Question

15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，sinB=$\frac{1}{3}$，AD=CD=1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中，利用正弦的定义可得到AB=3AD=3，再根据勾股定理计算出BD=2$\sqrt{2}$，所以BC=BD+CD=2$\sqrt{2}$+1；
（2）先计算出CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，则DE=CE-DE=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，然后根据正切的定义求解．

解答 解：（1）在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB=3AD=3，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BC=BD+CD=2$\sqrt{2}$+1；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$+1）=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴DE=CE-DE=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$-1=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}-\frac{1}{2}}{1}$=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．