Question

20．问题探究：

（1）如图①，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，若AD平分△ABC的面积，请你画出线段AD，并计算线段AD的长度．
（2）如图②，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=60°，点M在AD上，点N在BC上，若MN平分平行四边形ABCD的面积，且线段MN的长度最短，请你画出符合要求的线段MN，并求出此时MN的长度．
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是规则中的商业区示意图，其中AD∥BC，∠B=90°，AD=1km，AB=2.4km，CD=2.6km，现计划在商业区内修一条笔直的单行道，入口M在AB上，出口N在BC上，使得MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，且MN的长度最短，你认为满足条件的MN是否存在？若存在，请求出MN的最短长度，并求出入口M和出口N与点B的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作中线AD，利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求AD的长；
（2）经过平行四边形对角线中点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，当MN⊥BC时，最短，作两平行线AD和BC的距离AE，根据三角函数求AE的长，即是MN的长；
（3）存在，先根据勾股定理求BC的长，设BM=a，BN=b，根据面积的关系求ab=3.6，且保证a+b最小，所以MN最小，分别计算即可．

解答 解：（1）如图①，作中线AD，则AD平分△ABC的面积，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AC=AB=5，
∴AD⊥BC，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
（2）连接AC、BD，交于O，
过O作直线MN，交AD于M，交BC于N，如图②，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴S_△AOM=S_△CON，
同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，
∴S_△OMD=S_△ONB，S_△AOB=S_△COD，
∴S_△AOM+S_△AOB+S_△BON=S_△CON+S_△COD+S_△OMD，
即MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
当MN⊥BC时，MN是最短，如图③，
过A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∵∠ABC=60°，
∴sin60°=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∵AD∥BC，AE⊥BC，MN⊥BC，
∴MN=AE=3$\sqrt{3}$，
∴此时MN的长度为3$\sqrt{3}$；
（3）存在，
如图④，过D作DE⊥BC于E，则四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=1，DE=AB=2.4，
由勾股定理得：EC=$\sqrt{2．{6}^{2}-2．{4}^{2}}$=1，
∴BC=BE+EC=2，
如图⑤，设BM=a，BN=b，
∵MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（1+2）×2.4，
ab=3.6，
在Rt△BMN中，MN=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-2ab}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-7.2}$，
当a²+b²最小时，MN最小，
由（a-b）²≥0可知：a²+b²≥2ab，
当a=b时，a²+b²有最小值，
∴当a=b时，MN最小，则a=b=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴MN=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{10}}{5}）^{2}+（\frac{3\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
答：MN的最短长度为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$km，出入口M和出口N与点B的距离都是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$km．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、等腰三角形、梯形的性质，明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，过平行四边形对角线中点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，利用面积相等的长方形和正方形中，正方形的周长小于长方形的周长，确定第三问中MN的最小值．