Question

已知：四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠BAD=135°，AB=20，CD=40，以A为圆心，AB长为半径作圆．求证：在⊙A上，在⊙A内，⊙A外都有线段DC上的点．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,点与圆的位置关系

专题：常规题型,证明题

分析：计算圆心A到DC的最短距离AE与最长距离AC，然后与半径AB比较即可．

解答：证明：过点A作AE⊥DC，垂足为E，过点B作BF⊥DC，垂足为F，连接AC，
在四边形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∵∠BAD=135°，
∴∠D=45°，
∵AE⊥DC，BF⊥DC，
∴△ADE和△BFC都是等腰直角三角形，
∴DE=AE=BF=FC=

1

2

(DC-AB)=

1

2

×(40-20)=10，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
AC²=AE²+EC²=10²+30²=1000，
∴AC=10

10

，
∵AE=10＜20，AC=10

10

＞20，
∴在⊙A上，在⊙A内，⊙A外都有线段DC上的点．

点评：此题考查等腰梯形的性质，及点与圆的位置关系，解题关键：利用点与圆心的距离来判断点与圆的位置关系．