题目内容

如图，正方形AOBC的边长为4，反比例函数y=

经过正方形AOBC的中心D点，E为AO边上任一点，F为OB延长线上一点，AE=BF，EF交AB于点G．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）判断CG与EF之间的数量和位置关系；
（3）P是y=

第三象限上一动点，直线l：y=-x+2与y轴交于M点，过P作PN∥y轴交直线l于N．是否存在一点P，使得四边形OPNM为等腰梯形？若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．

分析：（1）正方形AOBC的边长为4，则正方形AOBC的中心D点的坐标为（2，2），把这点的坐标代入反比例函数y=

的解析式，就可以求出函数解析式；
（2）连接CE、CF，作EH∥BF交AB于H点，可以得到△CAE≌△CBF，因而可以证出△EHG≌△FBG，得到EG=FG则CG⊥EF，CG=

EF；
（3）要让四边形OPNM为等腰梯形，必须有∠PNM=∠NPO=45°，则P点的横纵坐标相等，因而设P点的坐标为（x，x），代入y=

，得到x的值，从而求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵正方形的中心是它的两对角线的交点，
又∵正方形AOBC的边长为4，
∴正方形AOBC的中心D点的坐标为（2，2）．
∵D点在反比例函数y=

的图象上，
∴k=2×2=4，
∴y=

；

（2）CG⊥EF，CG=

EF．（5分）
证明：连接CE、CF，作EH∥BF交AB于H点，
∵CA=CB，∠CAE=∠CBF，AE=BF，
∴△CAE≌△CBF，
∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ECF=90°．
∵AE=EH=BF，∠EGH=∠BGF，∠HEG=∠BFG，
∴△EHG≌△FBG，（7分）
∴EG=FG．
∴CG⊥EF，CG=

EF；