Question

如图，已知⊙O的半径为4，弦BC长为4

3

，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C点除外）
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB=AC，则△ABC的面积是多少？

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）证明BD=CD=2

3

；证明sin∠OBD=

OD

OB

=

1

2

，得到∠OBD=30°；求出∠BOC=120°，得到∠BAC=60°．
（2）求出OD=2，得到A′D=6，问题即可解决．

解答：解：如图，连接OB、OC；过点O作OD⊥BC；
延长DO交⊙O于点A′，连接A′B、A′C；
（1）∵OD⊥BC，
∴BD=CD=2

3

，而OB=4，
∴sin∠OBD=

OD

OB

=

1

2

，
∴∠OBD=30°；同理可求∠OCD=30°，
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠BAC=

1

2

×120°=60°．
（2）如图，
∵A′D⊥BC，且BD=CD，
∴A′B=A′C；
∵AB=AC，
∴点A与点A′重合；由勾股定理得：
OD2=42-(2

3

)2，
∴OD=2，A′D=6；
∴△ABC的面积=

1

2

×4

3

×6=12

3

．

点评：该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线；应牢固掌握有关定理．