Question

6．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B=90°，AB=BC=15千米，CD=3$\sqrt{2}$千米，AD=12$\sqrt{3}$千米．
（1）求小溪流AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可得；
（2）由勾股定理逆定理得∠D=90°，从而由S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD可得答案．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AB=BC=15千米，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+1{5}^{2}}$=15$\sqrt{2}$千米；

（2）∵AC²=（15$\sqrt{2}$）²=450，CD²+AD²=（3$\sqrt{2}$）²+（12$\sqrt{3}$）²=450，
∴AC²=CD²+AD²，
则∠D=90°，
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=$\frac{1}{2}$×15×15+$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{2}$×$12\sqrt{3}$
=$\frac{225+36\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．