Question

4．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB=12，CD=6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP=8，
（1）求线段PC的长；
（2）若∠APD=60°，求R的值．

Answer 1

分析 （1）设PC=x，根据已知条件得到△PBC∽△PDA，得到比例式$\frac{PB}{PD}=\frac{PC}{PA}$，解方程即可得到结果；
（2）过A作AH⊥PD于点H，根据已知条件求得PH=10．于是得到AD为圆的直径，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）设PC=x，
∵∠PCB=∠A，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PDA，
∴$\frac{PB}{PD}=\frac{PC}{PA}$，
∴$\frac{x}{20}=\frac{8}{x+6}$，
∴x=10（x=-16舍去），
∴PC=10；

（2）过A点作AH⊥PD于点H，
∵AP=20，∠P=60°，
∴PH=10．
∵PC=10，
∴H与C重合，
∴AD为圆的直径，
∵AC=AH=10$\sqrt{3}$，CD=6，
∴AD=2R=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4$\sqrt{21}$，
∴R=2$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，证得AD为圆的直径是解题的关键．