题目内容

我们来研究一些特殊的求和类型问题.
类型一:形如1+2+3+…+100=?,经过研究,这个问题的一般性结论是:1+2+3+…+n=
1
2
n(n+1),其中n是正整数;
类型二:.1×2+2×3+…n(n+1)=?,对于这个问题,我们观察下面三个特殊的等式
1×2=
1
3
(1×2×3-0×1×2);2×3=
1
3
(2×3×4-1×2×3);3×4=
1
3
(3×4×5-2×3×4).
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5=20
读完这段材料,请你思考后回答:
(1)类比:1×2+2×3+…+10×11=
 

(2)归纳:1×2+2×3+…+n(n+1)=
 

(3)猜想:由上面两种类型的求和结果试写出
1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=
 
.
考点:规律型:数字的变化类
专题:
分析:(1)根据三个特殊等式相加的结果,代入熟记进行计算即可求解;
(2)先对特殊等式进行整理,从而找出规律,然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式,整理即可得解;
(3)根据(2)的求解规律,利用特殊等式的计算方法,先把每一个算式分解成两个算式的运算形式,整理即可得解.
解答:解:(1)∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=
1
3
×4×5=20,
∴1×2+2×3+…+10×11=
1
3
×10×11×12=440;
(2)∵1×2=n(1×2×3-0×1×2)=
1
3
(1×2×3-0×1×2),
2×3=x(2×3×4-1×2×3)=
1
3
(2×3×4-1×2×3),
3×4=n(3×4×5-2×3×4)=
1
3
(3×4×5-2×3×4),
…
n(n+1)=
1
3
[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],
∴1×2+2×3+…+n(n+1)=
1
3
[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n(n+1)(n+(2)-(n-1)n(n+1)],
=
1
3
n(n+1)(n+2);
(3)根据(2)的计算方法,1×2×3=n(1×2×3×4-0×1×2×3)=
1
4
(1×2×3×4-0×1×2×3),
2×3×4=x(2×3×4×5-1×2×3×4)=
1
4
(2×3×4×5-1×2×3×4),
…
n(n+1)(n+2)=
1
4
[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],
∴1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=
1
4
(1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],
=
1
4
n(n+1)(n+2)(n+3).
故答案为:(1)440;(2)
1
3
n(n+1)(n+2);(3)
1
4
n(n+1)(n+2)(n+3).
点评:此题考查数字的变化规律,读懂题目信息,找出算式之间的联系,利用类比得出答案即可.
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