Question

在直角坐标系中，已知A（2，4），M，N均在坐标轴上，矩形ANOM，点P由O出发，1分钟到M，点Q由M出发，1分钟到A
（1）求过几分钟，能使PQ=2；
（2）求PQ长度的平方y和时间t的函数解析式；
（3）当t为何值时，PQ⊥MN．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：由题意画出图形，可知点M在x轴上，坐标为（2，4），点N在y轴上，坐标为（0，4），点P由O出发，1分钟到M，说明点p的运动速度为每分钟2个单位，点Q由M出发，1分钟到A，说明点Q的运动速度为每分钟4各单位．
（1）设过t分钟，能使PQ=2，由题意可知：OP=2t，PM=2-2t，MQ=4t，在Rt△PMQ中，由勾股定理可求t的值，
（2）在Rt△PMQ中，由勾股定理可得：y=PM²+MQ²，然后将PM=2-2t，MQ=4t代入即可得到y和时间t的函数解析式，
（3）当PQ⊥MN时，可得△PQM∽△NMO，然后由相似三角形的对应变边成比例，可求t的值．

解答：解：由题意可画出图（1），可知点M在x轴上，坐标为（2，4），点N在y轴上，坐标为（0，4），
∵点P由O出发，1分钟到M，点Q由M出发，1分钟到A，
∴点P的运动速度为每分钟2个单位，点Q的运动速度为每分钟4个单位，
∴OP=2t，PM=2-2t，MQ=4t，
（1）如图（1），设过t分钟，能使PQ=2，
在Rt△PMQ中，由勾股定理可得：
PM²+QM²=PQ²，
即：（2-2t）²+（4t）²=2²，
解得：t₁=0，t₂=

2

5

，
∴经过0分钟或

2

5

分钟，能使PQ=2．
（2）如图（1），
在Rt△PMQ中，由勾股定理可得：
PM²+QM²=PQ²，
即：y=（2-2t）²+（4t）²
整理得：y=20t²-8t+4，
∴PQ长度的平方y和时间t的函数解析式为：y=20t²-8t+4．

（3）如图（2），
当PQ⊥MN时，
可得：∠HPM+∠HMP=90°，
∵∠ONM+∠HMP=90°，
在△MON和△QMP中，
∵

∠HPM=∠ONM ∠NOM=∠QMP

，
∴△MON∽△QMP，
∴

OM

QM

=

ON

MP

，
即：

2

4t

=

4

2-2t

，
解得：t=

1

5

，
∴当t为

1

5

时，PQ⊥MN．

点评：此题考查了函数的综合题型，解题应用到勾股定理和相似三角形的性质等知识点．