Question

如图1，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a和c称为正放置的正方形，b称为斜放置的正方形．如果a和c的面积分别为1和4，那么b的面积为

 

；如图2，在直线l上依次摆放着若干个正方形，已知斜放置的正方形的面积分别是1、2、3、…，正放置的正方形的面积依次是S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₁₄，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：计算题

分析：如图1，根据正方形的性质得AC=CD，∠ACD=90°，再根据等角的余角线段得∠BAC=∠DCE，则可根据“AAS”判定△ACB≌△DCE，得到AB=CE，BC=DE；由勾股定理得AC²=AB²+BC²=AB²+DE²，即S_b=S_a+S_c=5；如图2，由前面的结论可得S₁+S₂=1=1+2×0，S₃+S₄=3=1+2×1，S₅+S₆=1+2×2，…S₂₀₁₃+S₂₀₁₄=2013=1+2×2006，然后相加得到S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=1007²．

解答：解：如图1，∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
而∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ACB和△DCE中，

∠ABC=∠CED ∠BAC=∠DCE AC=CD

，
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=AB²+DE²，
即S_b=S_a+S_c=1+4=5；
如图2，由前面的结论可得S₁+S₂=1=1+2×0，
S₃+S₄=3=1+2×1，
S₅+S₆=1+2×2，
…
S₂₀₁₃+S₂₀₁₄=2013=1+2×2006，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=1007+2（1+2+…+2006）=1007²．
故答案为5，1007²．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质．