Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求点P到AB边的距离．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线交BC于P点，则PA=PB；
（2）设BP=x，则AP=x，CP=BC-PB=8-x，然后在Rt△ACP中根据勾股定理得到（8-x）²+4²=x²，再解方程即可．

解答 解：（1）如图，点P为所作；

（2）AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
则BD=2$\sqrt{5}$．
设BP=x，则AP=x，CP=BC-PB=8-x，
在Rt△ACP中，
∵PC²+AC²=AP²，
∴（8-x）²+4²=x²，解得x=5，
即BP的长为5，
则DP=$\sqrt{B{P}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
则点P到AB的距离为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．