Question

7．如图，在等边△ABC中，AB=4，把线段AC沿着AB方向平移得到线段DE，点F在BC边上的，AD=BF，DE与BC相交于G点．连接DF、EF．
（1）求证：DF=EF；
（2）当AD为何值时，△DEF是直角三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平移得出四边形ACED是平行四边形，再判定△ECF≌△FBD即可得出DF=EF；
（2）根据△DEF是直角三角形，DF=EF，求得DF的长，再过F作FH⊥BD于H，并设AD=CE=BF=x，在Rt△DFH中利用勾股定理列出方程求解即可．

解答 解：（1）由平移得，CE∥AD，CE=AD，即四边形ACED是平行四边形，
∴∠ECF=∠FBD，
∵AD=BF，AB=CB，
∴CE=BF，BD=CF，
在△ECF和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BF}\\{∠ECF=∠FBD}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△FBD（SAS），
∴DF=EF；

（2）当△DEF是直角三角形，DF=EF时，△DEF是等腰直角三角形，
∵平行四边形ACED中，DE=AC=4，
∴DF=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
过F作FH⊥BD于H，则∠BFH=30°，
设AD=CE=BF=x，则BH=$\frac{x}{2}$，FH=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，DH=4-$\frac{3}{2}$x，
Rt△DFH中，FH²+DH²=DF²，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}x$）²+（4-$\frac{3}{2}$x）²=（2$\sqrt{2}$）²，
解得x₁=2-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，x₂=2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴AD为2-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$时，△DEF是直角三角形．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理进行求解．