Question

11．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．
（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；
（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得△BOD是等边三角形，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式；
（2）求得OB=OC，即可求得C的坐标，根据C的坐标即可判定点C是否在双曲线上．

解答 解：（1）∵AB∥x轴，
∴∠ABO=∠BOD，
∵∠ABO=∠CBD，
∴∠BOD=∠OBD，
∵OB=BD，
∴∠BOD=∠BDO，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴B（1，$\sqrt{3}$）；
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点B，
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴双曲线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$．
（2）∵∠ABO=60°，∠AOB=90°，
∴∠A=30°，
∴AB=2OB，
∵AB=BC，
∴BC=2OB，
∴OC=OB，
∴C（-1，-$\sqrt{3}$），
∵-1×（-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴点C在双曲线上．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数的解析式等，求得△BOD是等边三角形是解题的关键．