Question

1．设x₁，x₂是方程2x²-2x-1=0的两个根，利用根与系数，求下列各式的值．
（1）（${x}_{1}^{2}$+2）（${x}_{2}^{2}$+2）；（2）（2x₁+1）（2x₂+1）；（3）${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=1、x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）将原式变形为（x₁•x₂）²+2（x₁+x₂）²-4x₁•x₂+4，代入数据即可求出结论；
（2）将原式变形为4x₁•x₂+2（x₁+x₂）+1，代入数据即可求出结论；
（3）将原式变形为（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，代入数据即可求出结论．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²-2x-1=0的两个根，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）（${x}_{1}^{2}$+2）（${x}_{2}^{2}$+2）=${x}_{1}^{2}$•${x}_{2}^{2}$+2（${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$）+4=（x₁•x₂）²+2（x₁+x₂）²-4x₁•x₂+4=$\frac{33}{4}$；
（2）（2x₁+1）（2x₂+1）=4x₁•x₂+2（x₁+x₂）+1=1；
（3）${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=3．

点评 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-$\frac{b}{a}$、两根之积等于$\frac{c}{a}$是解题的关键．