Question

8．已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两不相等的实数根x₁、x₂
（1）求k的取值范围；
（2）试说明x₁＜0，x₂＜0；
（3）若抛物线y=x²+（2k+1）x+k²+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=OA•OB，求k的值．

Answer 1

分析 （1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k的范围；
（2）利用根与系数的关系，说明两根的和小于0，且两根的积大于0即可；
（3）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0）．利用x₁，x₂表示出OA、OB的长，则根据根与系数的关系，以及OA+OB=OA•OB即可列方程求解．

解答 解：（1）∵方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等实数根
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）＞0，
∴k＞$\frac{3}{4}$；
（2）∵x₁、x₂是方程x²+（2k+1）x+k²+1=0的两个不相等实数根，且k＞$\frac{3}{4}$，
∴x₁+x₂=-（2k+1）＜0，
x₁•x₂=k²+1＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
（3）∵x₁＜0，x₂＜0
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=2k+1，
OA•OB=-x₁•（-x₂）=x₁•x₂，
∴2k+1=k²+1，
整理得k²+2k=0，
∴k₁=0，k₂=2，
又∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=2．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点，两交点的横坐标就是另y=0，得到的方程的两根，则满足一元二次方程的根与系数的关系．