题目内容
如图，P为等边△ABC内任一点，设PA=x，PB=y，PC=z，AB=a．求证：x+y+z＜2a．考点：等边三角形的判定与性质,三角形三边关系
专题：证明题
分析：过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F，可得AD=DE=EA＞AP，DB+DP＞BP，CE+PE＞PC，从而得出结论．
解答：证明：过P作BC的平行线，分别交AB，AC于点D，E
∴AD=DE=EA＞AP
∵DB+DP＞BP，CE+PE＞PC
二式相加 BD+CE+DE＞BP+CP
∴BD+CE+AD＞BP+CP
又∵EA＞AP
∴BD+CE+AD+EA＞AP+BP+CP
即AP+BP+CP＜AB+AC=2a
∴x+y+z＜2a．
∴AD=DE=EA＞AP
∵DB+DP＞BP，CE+PE＞PC
二式相加 BD+CE+DE＞BP+CP
∴BD+CE+AD＞BP+CP
又∵EA＞AP
∴BD+CE+AD+EA＞AP+BP+CP
即AP+BP+CP＜AB+AC=2a
∴x+y+z＜2a．
点评：本题考查了等边三角形的性质和三角形三边关系，分别找到最大x+y+z的求法是解题的关键．
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