Question

3．已知x=$\frac{2ab}{{b}^{2}+1}$（a＞0，b＞0），求证：代数式$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$，当b＞1时，值是b；当b＜1时，值是$\frac{1}{b}$；当b=1时，值是1．

Answer 1

分析 先对题目中代数式化简，然后讨论b的取值范围，从而可以证明结论．

解答 证明：∵$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$
=$\frac{（\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}）^{2}}{a+x-a+x}$
=$\frac{a+x+2\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}+a-x}{2x}$
=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x}$，
∵x=$\frac{2ab}{{b}^{2}+1}$，
∴$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x}$
=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{（b}^{2}+1）^{2}}}}{\frac{2ab}{{b}^{2}+1}}$
=$\frac{a+\frac{\sqrt{{a}^{2}（{b}^{2}+1）^{2}-4{a}^{2}{b}^{2}}}{{b}^{2}+1}}{\frac{2ab}{{b}^{2}+1}}$
=$\frac{a（{b}^{2}+1）+a\sqrt{（{b}^{2}+1）^{2}-4{b}^{2}}}{2ab}$
=$\frac{{b}^{2}+1+\sqrt{（{b}^{2}-1）^{2}}}{2b}$，
∴当b＞1时，$\frac{{b}^{2}+1+\sqrt{（{b}^{2}-1）^{2}}}{2b}$=$\frac{{b}^{2}+1+{b}^{2}-1}{2b}=b$，
当b＜1时，$\frac{{b}^{2}+1+\sqrt{（{b}^{2}-1）^{2}}}{2b}$=$\frac{{b}^{2}+1+1-{b}^{2}}{2b}=\frac{1}{b}$，
当b=1时，$\frac{{b}^{2}+1+\sqrt{（{b}^{2}-1）^{2}}}{2b}$=$\frac{{1}^{2}+1+\sqrt{（{1}^{2}-1）^{2}}}{2}$=$\frac{2}{2}=1$．

点评 本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．