Question

15．阅读下面计算过程：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-2）}{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}$=$\sqrt{5}$-2．
求：（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$的值．
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）的值．
（3）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据给定算式，在分式$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$的分母和分子上分别相乘（$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$），计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$的分母和分子上分别相乘（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{3}$）+…+（10-$\sqrt{99}$），由此即可算出结论．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\frac{1×（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{1×（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（3）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{3}$）+…+（10-$\sqrt{99}$）=10-1=9．

点评 本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键．