Question

15．（1）根据画函数图象的步骤，在如图的直角坐标系中，画出函数y=|x|的图象；
（2）求证：无论m取何值，函数y=mx-2（m-1）的图象经过的一个确定的点；
（3）若（1），（2）中两图象围成图形的面积刚好为2，求m值．

Answer 1

分析 （1）将函数y=|x|，变形为y=x（x≥0），y=-x（x≤0），然后利用两点法画出函数图象即可；
（2）将函数解析式变形为：y=（x-2）+2，从而可知直线经过点（2，2）；
（3）首先由勾股定理求得OC的长，然后根据三角形的面积为2，可求得OD的长度，从而可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可求得m的值．

解答 解：（1）当x≥0时，y=|x|=x，即y=x（x≥0），将x=0代入得：y=0；将x=1代入得：y=1，
当x≤0时，y=|x|=-x，即y=-x（x≤0），将x=0代入得：y=0；将x=-1代入得：y=1．
过点O（0，0），A（-1，1）作射线OA，过点0（0，0），B（1，1）作射线OB，
函数y=|x|的图象如图所示：

（2）∵y=mx-2（m-1）=m（x-2）+2，
∴x-2=0，y=2
∴x=2，y=2，
即函数图象过定点（2，2）…（6分）
（3）如下图：

∵函数y=mx-2（m-1）的图象经过顶点（2，2）
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴$\frac{1}{2}$OD•OC=2，
∴OD=$\sqrt{2}$，
所以点D的坐标为（-1，1）．
将x=-1，y=1代入y=mx-2（m-1）得：m=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．