Question

已知：如图，Rt△MPN的顶点P在正方形ABCD的边AB上，∠MPN=90°，PN经过点C，PM与AD交于点Q．
（1）在不添加字母和辅助线的情况下，图中△APQ∽△

 

；
（2）若P为AB的中点，联结CQ，求证：AQ+BC=CQ；
（3）若AQ=

1

4

AD时，试探究线段PC与线段PQ的数量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用相似三角形的判定方法以及利用正方形的性质进而得出答案；
（2）首先，证明△APQ≌△BOE（ASA），进而得出CE=CQ，得出BE+BC=CQ，进而得出答案；
（3）首先得出△APQ∽△BCP，进而得出

PQ

PC

=

AQ

BP

=

AP

BC

，再利用AQ=

1

4

AD=

1

4

AB，得出PC与PQ的关系．

解答：解：（1）∵∠APQ+∠BPC=90°，∠APQ+∠AQP=90°，
∴∠AQP=∠BPC，
又∵∠A=∠B，
∴△APQ∽△BCP；
故答案为：BCP；

（2）证明：如图1，延长QP交CB的延长线于点E，
∵P为AB中点，
∴PA=PB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠QAP=∠PBC=∠EBP=90°，
∵∠APQ=∠EPB，
在△APQ和△BOE中

∠APQ=∠BPE AP=BP ∠A=∠EBP

，
∴△APQ≌△BOE（ASA），
∴AQ=BE，PQ=PE，
∵∠MPN=90°，
∴CP⊥QE，
∴CE=CQ，
∴BE+BC=CQ，
∴AQ+BC=CQ；

（3）当AQ=

1

4

AD时，有PC=2PQ，
理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
AD=BC=AB，
∴∠3+∠2=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠1+∠2=180°-∠MPN=90°，
∴∠1=∠3，
∴△APQ∽△BCP，
∴

PQ

PC

=

AQ

BP

=

AP

BC

，
∵AQ=

1

4

AD=

1

4

AB，
∴

1 4 AB

AB-AP

=

AP

AB

，
∴

1

4

AB²=AB•AP-AP²，
∴AP=

1

2

AB，
∴

PQ

PC

=

AP

BC

=

AP

AB

=

1

2

，
∴PC=2PQ．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△APQ∽△BCP是解题关键．