Question

20．如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为-5和7，点P，Q为数轴上的动点．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，出发6s后，点Q从点B出发以每钞2个单位长度的速度向左运动．
（1）再经过几秒，两点相遇？
（2）如图2，以原点为圆心作半径为1的圆，与数轴空于点C，如果点P运动到点C的位置后，改变运动路径，绕着圆以60°/s的速度顺时针不停旋转，点P运动时间为t（s）．
①当t═（6n+5.5）s或（6n+8.5）s，其中n为非负整数时，∠AOP=90°；
②点P和点Q是否会相遇？若能，求相遇时t的值？若不能，请说明理由？
③若点Q遇到点A后立即返回向点B运动，遇到点B后又立即返回向点A运动，如此往返，问当t=110s时，P、Q两点相遇了几次？

Answer 1

分析 （1）先求出点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，出发6s后，点P，Q的距离，再根据时间=距离和÷速度和，列出算式计算即可求解；
（2）①先求出P点到C的时间，再加上绕着圆旋转的数据即为所求；
②点P和点Q只能相遇在-1或1，分别求出它们在-1或1的时间即可求解；
③先求出点Q到1的时间，点Q到-1的时间，依此即可求解．

解答 解：（1）（7+5-6×1）÷（1+2）
=（12-6）÷3
=6÷3
=2（秒）．
答：再经过2秒，两点相遇；
（2）①P在数轴上方时，t=360°÷60°n+（-1+5）÷1+90°÷60°=6n+5.5；
P在数轴下方时，t=360°÷60°n+（-1+5）÷1+（360°-90°）÷60°=6n+8.5；
故当t═（6n+5.5）s或（6n+8.5）s，其中n为非负整数时，∠AOP=90°；
②P在-1的时间是（6n+4）s，P在1的时间是（6n+7）s，
点Q在1的时间是3s，点Q在1的时间是4s，
当n=0时，点P和点Q会相遇．
③点Q在1的时间是（12n+3）s或（12n+9）s，点Q在-1的时间是（12n+4）s或（12n+8）s，
（110-4）÷12
=106÷12
=8…10（s），
1+8=9（次）．
故当t=110s时，P、Q两点相遇了9次．
故答案为：（6n+5.5）s或（6n+8.5）s，其中n为非负整数．

点评 本题考查了数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的求解，相遇问题的等量关系，难点在于（2）（3）要分情况讨论．