Question

已知直线l与直线l外一点P，求作：过点P且垂直于直线l的垂线a（尺规作图）．

现给出一种作法，如下：

步骤一：在直线l外取一点E，以点P为圆心，以线段PE为半径画弧，交直线l于点M，N；

步骤二：分别以点M、N为圆心，大于线段MN为半径画弧，过两弧的交点的直线a就是所求作的垂线．

（1）按上述操作步骤，请成功作出过点P且垂直于直线l的垂线a．（符合要求的一种图形），并说明理由．

（2）从你作图的过程中，思考要保证这种作法顺利作出，线段PE应该满足什么条件？

（3）为了避免这种情况产生，小明说只要在直线l上取点E好了，并给出了画法，画法对吗？请说明理由．

（作法：在直线l上取两点B、D，以P为圆心，以PD 为半径画圆交直线l于点E，以P为圆心，以PB 为半径画圆交直线l于点F，其中较小圆分别交PB，PF于点M、N，连接E、N和D、M，EN和MD相交于点H，则PH就是所求的垂线．）

（4）请在直线l上取点E，用直尺和圆规过点P且垂直于直线l的垂线a（与小明不同的方法，并要求尽可能简单）．

答案见解析. 【解析】试题分析：(1)、分点E、点P在直线l的异侧、同侧两种情况来分别进行讨论，从而根据圆的性质得出答案；(2)、根据第一题的情况分析得出线段PE要大于点P到直线的距离；(3)、连接MN，根据题意得出△PMH和△PNH全等，然后根据圆心角的逆定理得出垂线；(4)、利用直径所对的圆周角是直角. 试题解析：(1)、根据点E、点P与直线l的位置关系可分为两种情况： i）...

Answer 1