Question

2．观察下列各式
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+1）=x⁴-1
…
①根据以上规律，则（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁸-1
②聪明的你能否归纳出一般性规律：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1
③根据②的规律求出：1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵的结果．

Answer 1

分析 （1）根据规律可得出（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）结果；
（2）由规律得出x的指数为n+1，即可得出答案；
（3）1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵的可以写成（2-1）（2⁰+2¹+2²++…+2³⁴+2³⁵），根据规律计算即可．

解答 解：（1）由规律得：（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁸-1；
（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
（3）1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵=（2-1）（2⁰+2¹+2²++…+2³⁴+2³⁵）
=2³⁶-1，
故答案为x⁸-1，xⁿ⁺¹-1．

点评 本题考查了整式的混合运算，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多1，是解题的关键．