Question

11．如图，△ABC与△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，点B、C、E在一直线上，
（1）求证：BE=CD；
（2）过点D作BC的平行线，过点B作CD的平行线，两线相交于点F，判断四边形BCDF的形状，并证明．

Answer 1

分析 （1）证出∠BAE=∠CAD，由SAS证明△BAE≌△CAD，得出对应边相等即可；
（2）先证明四边形BCDF是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠ACD=∠ABE=45°，证出∠BCD=∠ACB+ACD=90°，即可得出四边形BCDF是矩形．

解答 （1）证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
在△BAE与△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAE=∠CAD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD；

（2）解：四边形BCDF是矩形；理由如下：
∵DF∥BC，BF∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，
由（1）得：△BAE≌△CAD，
∴∠ACD=∠ABE=45°，
∴∠BCD=∠ACB+ACD=45°+45°=90°，
∴四边形BCDF是矩形．

点评 本题考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．