Question

已知：AB=AE，AB⊥AE，AC=AF，AC⊥AF．
（1）求证：EC=FB，EC⊥FB；
（2）求证：S_△ABC=S_△AEF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由已知两垂直，得到一对直角相等，利用等式的性质得到∠EAC=∠BAF，利用SAS得出三角形EAC与三角形BAF全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到，再由对顶角相等，利用内角和定理得到∠EDB为直角，利用垂直的定义即可得证；
（2）作FM⊥EA，CN⊥AN，利用HL得到三角形AMF与三角形ACN全等，得到FM=CN，而EA=AB，利用三角形面积公式表示，即可得证．

解答：证明：（1）∵AB⊥AE，AC⊥AF，
∴∠EAB=∠CAF=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠CAB，即∠EAC=∠BAF，
在△EAC和△BAF中，

AE=AB ∠EAC=∠BAF AC=AF

，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC=BF，∠AEB=∠ABF，
∴∠EDB=∠EAB=90°，
则EC⊥FB；

（2）作FM⊥EA，CN⊥AN，
∴∠ANC=∠AMF=90°，
∵∠MAN=∠CAF=90°，
∴∠MAN-∠MAC=∠CAF-∠MAC，即∠NAC=∠MAF，
在△ACN和△AFM中，

∠ANC=∠AMF=90° AN=AM ∠NAC=∠MAF

，
∴△ACN≌△AFM（ASA），
∴FM=CN，
∵AE=AB，
∴

1

2

AE•FM=

1

2

AB•CN，
∴S_△ABC=S_△AEF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．