Question

（2013•厦门）若x₁，x₂是关于x的方程x²+bx+c=0的两个实数根，且|x₁|+|x₂|=2|k|（k是整数），则称方程x²+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x²-6x-27=0，x²-2x-8=0，x2+3x-

27

4

=0，x²+6x-27=0，x²+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x²+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出原方程的根，再代入|x₁|+|x₂|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；
（2）由条件x²-6x-27=0和x²+6x-27=0是偶系二次方程建模，设c=mb²+n，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x₁|+|x₂|就可以得出结论．

解答：解：（1）不是，
解方程x²+x-12=0得，x₁=3，x₂=-4．
|x₁|+|x₂|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x²+x-12=0不是“偶系二次方程；

（2）存在．理由如下：
∵x²-6x-27=0和x²+6x-27=0是偶系二次方程，
∴假设c=mb²+n，
当b=-6，c=-27时，
-27=36m+n．
∵x²=0是偶系二次方程，
∴n=0时，m=-

3

4

，
∴c=-

3

4

b²．
∵x2+3x-

27

4

=0是偶系二次方程，
当b=3时，c=-

3

4

×3²．
∴可设c=-

3

4

b²．
对于任意一个整数b，c=-

3

4

b²时，
△=b²-4ac，
=4b²．
x=

-b±2b

2

，
∴x₁=-

3

2

b，x₂=

1

2

b．
∴|x₁|+|x₂|=2|b|，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c=-

3

4

b²时，关于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”．

点评：本题考查了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用，解答本体时根据条件特征建立模型是关键．