题目内容
13．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，那么9（x+y+z）=2016．
分析 （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
（2）将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长；
（4）长方形的面积xa2+yb2+zab=（25a+7b）（9a+5b），然后运算多项式乘多项式法则求得（25a+7b）（2a+45b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．
解答 解：（1）正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29．
（3）长方形的面积=2a2+5ab+3b2=（2a+3b）（a+b）．
所以长方形的边长为2a+3b和a+b，
所以较长的一边长为2a+3b．
（4）∵长方形的面积=xa2+yb2+zab=（25a+7b）（2a+5b）=50a2+14ab+125ab+35b2=50a2+1251ab+35b2，
∴x=50，y=139，z=35．
∴9（x+y+z）=2016．
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；2016．
点评 本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
练习册系列答案
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