题目内容

在平面直角坐标系xOy中，点M（
2
，
2
），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是
AB
上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．
考点：圆的综合题
专题：几何综合题,压轴题
分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（
2
，
2
），可得∠MOH=45°，OH=MH=
2
，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数；
（2）①由OH=MH=
2
，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点P与点B重合时，OP•OQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案；
②由OD=2
2
，Q的纵坐标为t，即可得S=
1
2
×2
2
t=
2
t，然后分别从当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，
∵点M（
2
，
2
），
∴OH=MH=
2
，
∴∠MOD=45°，
∵∠AOD=90°，
∴∠AOM=45°，
∵OM=AM，
∴∠OAM=∠AOM=45°，
∴∠AMO=90°，
∴∠AMB=90°；

（2）①∵OH=MH=
2
，MH⊥OD，
∴OM=
MH2+OH2
=2，OD=2OH=2
2
，
∴OB=4，
∵动点P与点B重合时，OP•OQ=20，
∴OQ=5，
∵∠OQE=90°，∠POE=45°，
∴OE=5
2
，
∴E点坐标为（5
2
，0）

②∵OD=2
2
，Q的纵坐标为t，
∴S=
1
2
×2
2
t=
2
t．
如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，
∵OP=4，OP•OQ=20，
∴OQ=5，
∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，
∴t=QF=
5
2
2
，
此时S=
2
×
5
2
2
=5；
如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，
∴OP=2
2
，
∵OP•OQ=20，
∴t=OQ=5
2
，
此时S=
2
×5
2
=10；
∴S的取值范围为5≤S≤10．
点评：此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（　　）
A、钝角三角形
B、直角三角形
C、等边三角形
D、等腰不等边三角形
计算（2-
3
）1013（2+
3
）2014的结果是（　　）
A、1
B、-1
C、2+
3
D、-2-
3
如图，△ABC的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME=MF．
解不等式，并把它的解集表示在数轴上：
（1）x+1＜5；                   
（2）-2x+3≥9．
甲、乙两人同解方程组
ax+5y=15  (1)
4x=by-2     (2)
时，甲看错了方程（1）中的a，解得
x=2
y=1
，乙看错（2）中的b，解得
x=5
y=4
．试求a、b的值．
如图，AB为⊙O的直径，AB=4，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，设∠BCD=m∠ACD．
（1）已知
1
m
=
2
m+2
，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度数各是多少？
（2）当
AP
PB
=
2-
3
2+
3
时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由；
（3）在（1）的条件下，且
AP
PB
=
1
2
，求弦CD的长．
已知一个三角形的三边长分别是7厘米，3厘米，第三边长为x厘米．
（1）求第三边x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，取x的偶数值为直角△ABC的两直角边长（AC＞BC），此时AB=10厘米，若P为斜边AB上的一个动点，求PC的最小值．
若点P（x-2，3+x）在第二象限，求x的取值范围．

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