Question

2．已知关于x的方程mx²-（m-1）x-1=0
（1）求证：对于任意实数m，方程总有实根；
（2）若抛物线y=mx²-（m-1）x-1与x轴有两个公共点A、B，且AB=3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-1=0求出方程的解x=1；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△=（m+1）²得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案；
（2）设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（m-1）x-1与x轴交点的横坐标．求出方程mx²-（m-1）x-1=0的解x₁=1，x₂=-$\frac{1}{m}$，根据题意得出|1-x₂|=3，即可得到结论．

解答 （1）证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-1=0，∴x=1，方程有实数根；
②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（m-1）]²-4m（-1）=m²-2m+1+4m=m²+2m+1=（m+1）²
∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；
综合①、②，可知m取任何实数，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0方程总有实根；

（2）解：设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（m-1）x-1与x轴交点的横坐标．
令y=0，则mx²-（m-1）x-1=0
由求根公式得，x₁=1，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∴抛物线y=mx²-（m-1）x-1不论m为任何不为0的实数时恒过定点（1，0）．
∵|x₁-x₂|=3，
∴|1-x₂|=3，
∴x₂=-2或x₂=4，∴m=$\frac{1}{2}$或m=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与x轴的交点，解二元一次方程组，根的判别式，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，难度适中．