Question

8．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其对称轴交AC于点D．
（1）直接写出下列各点坐标；
（2）在直线AC下方的抛物线上是否存在一点T，使得△ADT的面积最大？若存在，求出点T坐标；若不存在，请说明理由；
（3）绕点D旋转△ABC形成△A′B′C′，当点C′落到y轴上时，求出点B′的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设T（m，$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m-2），作TG∥OC交AC于G，则G（m，-$\frac{1}{2}$m-2），根据S_△ADT=S_△TGA+S_△TGD构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
（3）如图2中，连接DB交OC于C′．首先证明DC=DC′，∠ACB=90°，作B′K⊥y轴于K，对称轴与x轴交于点F，由△C′KB′∽△BFD，可得$\frac{C′K}{BF}$=$\frac{KB′}{DF}$=$\frac{C′B′}{DB}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0则$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x=-4或1，
∴点A坐标（-4，0），点B坐标（1，0），
令x=O得y=-2，
∴点C坐标（0，-2）．
设直线AC解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∵直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-2，
∵抛物线对称轴为x=-$\frac{3}{2}$，
∴点D坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

（2）如图1中，设T（m，$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m-2），作TG∥OC交AC于G，则G（m，-$\frac{1}{2}$m-2）．

∴S_△ADT=S_△TGA+S_△TGD=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m-2-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）×$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{8}$（m+2）²+$\frac{5}{2}$，
∵-$\frac{5}{8}$＜0，
∴m=-2时，△ADT的面积最大，
此时点T坐标（-2，-3）．

（3）如图2中，连接DB交OC于C′．

∵D（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），B（1，0），设直线BD的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=-\frac{5}{4}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴C′（0，-$\frac{1}{2}$），
∴DC=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{5}$，DC′=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{5}$，
∴DC=DC′，
∵绕点D旋转△ABC形成△A′B′C′，当点C′落到y轴上，
∴C′（0，$\frac{1}{2}$），
∵AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴旋转后B′C′⊥BD，BC=CB′=$\sqrt{5}$，DB=$\frac{5}{4}$$\sqrt{5}$
作B′K⊥y轴于K，对称轴与x轴交于点F，由△C′KB′∽△BFD，可得$\frac{C′K}{BF}$=$\frac{KB′}{DF}$=$\frac{C′B′}{DB}$，
∴$\frac{C′K}{\frac{5}{2}}$=$\frac{KB′}{\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{5}{4}\sqrt{5}}$，
∴C′K=2，KB′=1，
∴OK=$\frac{3}{2}$，
∴B′坐标（-1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．