Question

一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有相同的人数．起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车．若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车．已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有

 

辆汽车，这批旅客有

 

人．

Answer 1

分析：设原有k辆汽车，则开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n个人，显然k≥2，n≤32，然后得出旅客人数等于22k+1，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为n（k-1），继而可列出方程，然后讨论得出符合题意的解即可．

解答：解：设原有k辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n个人，显然k≥2，n≤32，
易知旅客人数等于22k+1，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为n（k-1），
由此列出方程22k+1=n（k-1），
∴n=

22k+1

k-1

=

22(k-1)+23

k-1

=22+

23

k-1

，
因为n为正整数，所以

23

k-1

必为正整数，但由于23是质数，因数只有1和23两个，且k≥2，
∴k-1=1，或k-1=23，
如果k-1=1，则k=2，n=45，不满足n≤32的条件．
如果k-1=23，则k=24，n=23，符合题意．
所以旅客人数等于n（k-1）=23×23=529（人）．
故答案为：24，529．

点评：本题考查二元一次不定方程的应用，难度较大，需要较强的分析探讨能力，解答本题的关键是根据题意列出方程，利用实际情况讨论可能的取值．