Question

8．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=BC=5cm，点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度做匀速运动，点D在BC上且满足∠CPD=∠A，则当运动时间t=1或5s时，以点C为圆心，以CD为半径的圆与AB相切．

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质得出AE=BE=3，根据勾股定理求得CE=4，即可求得⊙C的半径为4，进一步求得BD=1，根据证得△PAC∽△DBP得出$\frac{t}{1}$=$\frac{5}{6-t}$，从而求得t的值．

解答 解：作CE⊥AB于E，
∵AB=6cm，AC=BC=5cm，
∴AE=BE=3cm，
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=4cm，
∵⊙C与AB相切．
∴CD=CE=4cm，
∴BD=5-4=1cm，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠BPC=∠CPD+∠BPD=∠A+∠ACP，∠CPD=∠A，
∴∠BPD=∠ACP，
∴△PAC∽△DBP，
∴$\frac{AP}{DB}$=$\frac{AC}{PB}$，即$\frac{t}{1}$=$\frac{5}{6-t}$
解得t₁=1，t₂=5，
故答案为1或5．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，切线的性质三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．