Question

在数学活动中，小明为了求 2+2²+2³…+2^n-1+2ⁿ的值，写出下列解题过程．
设：S=2+2²+2³…+2^n-1+2ⁿ①
两边同乘以2得：
2S=2²+2³…+2^n-1+2ⁿ+2ⁿ⁺¹②
由②-①得：S=2ⁿ⁺¹-2
（1）应用结论：2+2²+2³…+2¹⁰⁰=

 

；
（2）拓展探究：
①求：4+4²+4³…+4^n-1+4ⁿ的值；
②直接写出：

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=

 

，
小明设计一个如图的几何图形来表示：

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值，正方形的边长为1．请你利用图1，在图2再设计一个能求：

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值的几何图形．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：开放型

分析：（1）类比例题给与的方法得出结论即可；
（2）①类比（1）的方法解答即可；
②结合图形分析计算其面积和的方法是总面积减去剩下的面积．

解答：解：（1）设S=1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰①
则2S=2+2²+2³+…+2¹⁰⁰+2¹⁰¹，②
②-①得，S=2¹⁰¹-1．
（2）①设S=4+4²+4³…+4^n-1+4ⁿ；①
则4S=4²+4³…+4^n-1+4ⁿ+4ⁿ⁺¹；②
②-①得3S=4ⁿ⁺¹-4，
则S=

4n+1-4

3

．
②如图：
．

点评：此题考查数字的变化规律，注意观察式子的前后变化，找出规律，解决问题．