Question

14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点M是AB边上的点，点N是射线CB上的点，且MC=MN．
（1）如图1，求证：∠MCD=∠BMN．
（2）如图2，当点M在∠ACD的平分线上时，请在图2中补全图，猜想线段AM与BN有什么数量关系，并证明；
（3）如图3，当点M是BD中点时，请直接写出线段AM与BN的数量关系

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠BCD=∠B=∠A=∠ACD=45°，AD=BD，由等腰三角形的性质得出∠MCN=∠MNC，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）证出∠ACM=∠BMN，由AAS证明△ACM≌△BMN，得出对应边相等即可；
（3）作ME⊥BC于E，则△BEM是等腰直角三角形，得出BE=ME，设BE=ME=1，则BM=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$，求出AD=BD=2$\sqrt{2}$，得出AM=3$\sqrt{2}$，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=$\frac{1}{2}$AB=AD=2$\sqrt{2}$，由勾股定理求出MC=$\sqrt{10}$，NE=CE=$\sqrt{M{C}^{2}-M{E}^{2}}$=3，得出BN=NE-BE=2，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠B=∠A=∠ACD=45°，AD=BD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MCN=∠BCD+∠MCD=45°+∠MCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠BMN．
（2）解：AM=BN；理由如下：如图2所示：
∵点M在∠ACD的平分线上，
∴∠ACM=∠MCD，
∵∠MCD=∠BMN，
∴∠ACM=∠BMN，
在△ACM和△BMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}&{\;}\\{∠ACM=∠BMN}&{\;}\\{MC=MN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BMN（AAS），
∴AM=BN；
（3）解：2AM=3$\sqrt{2}$BN，理由如下：
作ME⊥BC于E，如图3所示：
则△BEM是等腰直角三角形，
∴BE=ME，
设BE=ME=1，则BM=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$，
∵点M是BD中点，
∴DM=BM=$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$，
∴AM=3$\sqrt{2}$，
∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD=2$\sqrt{2}$，
在Rt△DCM中，MC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵MN=MC，ME⊥BC，
∴NE=CE=$\sqrt{M{C}^{2}-M{E}^{2}}$=$\sqrt{10-1}$=3，
∴BN=NE-BE=2，
∴AM：BN=3$\sqrt{2}$：2，
∴2AM=3$\sqrt{2}$BN．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．