Question

17．如图，△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE=DF．
（1）若BD=5，CD=10，求四边形AEDF的面积；
（2）若BD=2$\sqrt{5}$，CF=8，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先判定四边形AEDF是正方形，进而得出DE∥AC，∠DFC=∠BED=90°，再根据△DCF∽△BDE，得到$\frac{CF}{DE}$=$\frac{CD}{DB}$，设DE=DF=x，则$\frac{CF}{x}$=$\frac{10}{5}$，求得CF=2x，在Rt△CDF中，依据DF²+CF²=CD²，得到x²+（2x）²=10²，求得x的值即可得到四边形AEDF的面积；
（2）根据相似三角形的性质，得到$\frac{CF}{DE}$=$\frac{CD}{DB}$，设DE=DF=a，BE=b，则$\frac{8}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a²=8b，再根据勾股定理，得到a²+b²=（2$\sqrt{5}$）²，进而解得b=2，a=4，最后计算△ABC的面积即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴DE∥AC，∠DFC=∠BED=90°，
∴∠C=∠EDB，
∴△DCF∽△BDE，
∴$\frac{CF}{DE}$=$\frac{CD}{DB}$，
设DE=DF=x，则$\frac{CF}{x}$=$\frac{10}{5}$，
∴CF=2x，
在Rt△CDF中，DF²+CF²=CD²，
∴x²+（2x）²=10²，
解得x²=20，
即DE²=20，
∴正方形AEDF的面积=20；

（2）由（1）可得，四边形AEDF是正方形，且△DCF∽△BDE，
∴$\frac{CF}{DE}$=$\frac{CD}{DB}$，
设DE=DF=a，BE=b，则
$\frac{8}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a²=8b，
又∵Rt△BDE中，DE²+BE²=BD²，
∴a²+b²=（2$\sqrt{5}$）²，
即8b+b²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得b=2或b=-10（舍去），
∴a²=16，即a=4，
∴AB=6，AC=12，
∴Rt△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×6×12=36．

点评 本题主要考查了正方形的判定，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行求解．解题时注意：有一组邻边相等的矩形是正方形．