Question

9．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察处如何进行因式分解，这种方法就是换元法．
例如：分解因式（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x²时，可以先将原式中的（x+1）（x+6）、（x+2）（x+3）分别计算，得：x²+7x+6，x²+5x+6，观察后设x²+5x+6=A，则原式=（A+2x）A+x²=A²+2Ax+x²=（A+x）²=（x²+6x+6）²
又如：分解因式4x⁴-12x³+17x²-12x+4时，考虑到系数的对称性，如果提取中间项的字母及指数后，就可以使用换元法，具体过程如下：
4x⁴-12x³+17x²-12x+4=x²（4x²-12x+17-$\frac{12}{x}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$）=x²[4（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-12（x+$\frac{1}{x}$）+17]令x+$\frac{1}{x}$=t，则原式=x²（4t²-12t+9）=x²（2t-3）²=x²（2x+$\frac{2}{x}$-3）²=（2x²-3x+2）²，请参照阅读材料中的换元对下列各式进行因式分解：
（1）a⁴-18a²+81   （2）（x-3）（x-2）（x+6）（x+9）+4x²   （3）x⁴-4x³+2x²+4x+1．

Answer 1

分析 （1）根据材料1，用换元法进行分解因式；
（2）根据材料1，用换元法进行分解因式；
（1）根据材料2，用换元法进行分解因式．

解答 解：（1）设t=a²，则原式=t²-18t+81=（t-9）²=（t-3）²（t+3）²；
（2）∵（x-3）（x+6）=x²+3x-18，（x-2）（x+9）=x²+7x-18，
设A=x²+3x-18，
∴原式=A（A+4x）+4x²=A²+4Ax+4x²=（A+2x）²=（x²+5x-18）²；
（3）原式=x²（x²-4x+2+$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=x²[（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-4（x-$\frac{1}{x}$）+2]，
设t=x-$\frac{1}{x}$，
则原式=x²（t²-4t+4）=x²（t-2）²=x²（x-$\frac{1}{x}$-2）²．

点评 本题考查了因式分解-十字相乘法，公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．